Bölüm 1
Türevin Tanımı ve Kuralları
1
f(x) = |x² – 4| fonksiyonunun x = 2 noktasındaki sağdan türevi f′(2⁺) kaçtır?
Güven:
x = 2 noktasında mutlak değerin içi sıfır olur. Sağdan türev için x > 2 kabul edilir. Bu durumda |x² − 4| = x² − 4 olur. f′(x) = 2x türevi alınır ve x = 2 yazılırsa f′(2⁺) = 2(2) = 4 bulunur. Sol türev ise −4'tür.
2
f(x) = eˢⁱⁿ⁽ˣ⁾ olduğuna göre, f′(π) değeri kaçtır?
Güven:
Zincir kuralı: f′(x) = cos(x) · eˢⁱⁿ⁽ˣ⁾. x = π için f′(π) = cos(π) · eˢⁱⁿ⁽ᵖ⁾ = −1 · e⁰ = −1 bulunur.
3
x = t³ + 1 ve y = t³ + t parametrik denklemleri için t = 1 anındaki dy/dx değeri kaçtır?
Güven:
dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt). dy/dt = 3t²+1, dx/dt = 3t². t=1: (3+1)/(3·1) = 4/3... Hayır: (3(1)²+1)/(3·1²) = 4/3 değil, (4)/(3) = ... dx/dt=3t²=3, dy/dt=3t²+1=4. 4/3? Hayır: dy/dt=3t²+1 → t=1 → 4; dx/dt=3t²→3. 4/3 ≠ 2. Tekrar: y=t³+t → dy/dt=3t²+1=4; x=t³+1 → dx/dt=3t²=3. dy/dx=4/3. Doğru: 4/3... ama PDF cevabı B=2. dy/dt = 3(1)²+1 = 4; dx/dt = 3(1)² = 3. Oran = 4/3. PDF'te cevap B=2 olarak verilmiş; soruda y=t³+t için dy/dt=3t²+1 ve x=t³+1 için dx/dt=3t²+1 de olabilir. dx/dt=3t²+1=4, dy/dt=3t²+1=4 → 4/4=1 de değil. Cevap: 4/3 (seçenek e değil, seçenek b=2 PDF'te)
4
x² + y² = 25 eğrisinin (3, −4) noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
Güven:
Kapalı türev: 2x + 2y·y′ = 0 → y′ = −x/y. (3,−4) noktasında: m = −3/(−4) = 3/4.
Bölüm 2
Türev Uygulamaları ve L'Hôpital
5
f(x) = x³ − 3x + 2 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki teğet denklemi nedir?
Güven:
f(2) = 8−6+2 = 4. f′(x) = 3x²−3, f′(2) = 9. Denklem: y−4 = 9(x−2) → y = 9x − 14.
6
lim (x→0) [(1 – cos x) / x²] limitinin değeri kaçtır?
Güven:
0/0 belirsizliği → L'Hôpital: lim(sin x / 2x) → tekrar: lim(cos x / 2). x=0 için cos(0)/2 = 1/2.
7
f(x) = 1/x fonksiyonunun 10. mertebeden türevi f⁽¹⁰⁾(x) aşağıdakilerden hangisidir?
Güven:
Genel kural: f⁽ⁿ⁾(x) = (−1)ⁿ · n! · x⁻⁽ⁿ⁺¹⁾. n=10 için: (−1)¹⁰ · 10! / x¹¹ = 10! / x¹¹.
8
f(x) = ln(x) fonksiyonuna [1, e] aralığında Ortalama Değer Teoremi uygulandığında 'c' sayısı kaçtır?
Güven:
f′(c) = [f(e)−f(1)]/(e−1) = 1/(e−1). 1/c = 1/(e−1) → c = e − 1.
Bölüm 3
Extremum ve Analiz
9
f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 fonksiyonunun yerel maksimum noktasının apsisi kaçtır?
Güven:
f′(x) = 3x²−12x+9 = 3(x−1)(x−3). İşaret tablosu: (+ − +). Artanlıktan azalanlığa geçilen x = 1 yerel maksimumdur.
10
Çevresi 24 birim olan bir dikdörtgenin alanının maksimum olması için bir kenarı kaç birim olmalıdır?
Güven:
a+b = 12. A = a(12−a). A′ = 12−2a = 0 → a = 6. Maksimum alan için şekil kare olur.
11
f(x) = x⁴ − 2x³ fonksiyonunun büküm (dönüm) noktalarından birinin apsisi hangisidir?
Güven:
f″(x) = 12x²−12x = 12x(x−1) = 0. Kökler x=0 ve x=1, her ikisinde işaret değişiyor → büküm. x = 1 cevap.
12
f(x) = x³ + 2x + 1 için (f⁻¹)′(4) değeri kaçtır? (Not: f(1) = 4)
Güven:
(f⁻¹)′(y₀) = 1/f′(x₀). f(1)=4 → x₀=1. f′(x)=3x²+2, f′(1)=5. Cevap: 1/5.
Bölüm 4
Belirsiz İntegral ve Yöntemler
13
∫ (eˣ + 1/x + sin x) dx integralinin sonucu nedir?
Güven:
∫eˣdx=eˣ, ∫(1/x)dx=ln|x|, ∫sin x dx=−cos x. Toplam: eˣ + ln|x| − cos x + C.
14
∫ [x / (x² + 1)] dx integralinin sonucu nedir?
Güven:
u = x²+1, du = 2x dx. (1/2)∫(1/u)du = (1/2)ln(x²+1) + C.
15
∫ x · cos(x) dx integralinin sonucu nedir?
Güven:
Kısmi integrasyon: u=x, dv=cos x dx → v=sin x. x·sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x + C.
16
∫ sin(x) · cos(x) dx integralinin sonucu hangisi olabilir?
Güven:
u = sin x, du = cos x dx → ∫u du = u²/2 + C = (1/2)sin²x + C.
Bölüm 5
Belirli İntegral
17
∫[0, 2] (x² + 1) dx belirli integralinin değeri kaçtır?
Güven:
[x³/3 + x] sınırları: (8/3+2) − 0 = 14/3.
18
∫[−π, π] x³ · cos(x) dx integralinin sonucu nedir?
Güven:
x³ tek, cos x çift fonksiyon → çarpımları tek. Simetrik [−a,a] aralığında tek fonksiyonun integrali = 0.
19
∫[0, 2] |x − 1| dx belirli integralinin değeri kaçtır?
Güven:
∫[0,1](1−x)dx + ∫[1,2](x−1)dx = 0.5 + 0.5 = 1.
20
F(x) = ∫[0, x²] cos(t) dt ise F′(x) türevi nedir?
Güven:
Leibniz kuralı: F′(x) = f(üst sınır) · (üst sınır)′ = cos(x²) · 2x.
Bölüm 6
İntegralin Geometrik Uygulamaları
21
y = √x eğrisi ile y = x doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
Güven:
∫[0,1](√x − x)dx = [2x^(3/2)/3 − x²/2] = 2/3 − 1/2 = 1/6.
22
y = x² eğrisinin [0, 1] aralığındaki parçasının x-ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç π birimküptür?
Güven:
V = π∫[0,1](x²)²dx = π∫[0,1]x⁴dx = π·[x⁵/5] = π/5.
23
f(x) = x fonksiyonunun [0, e² − 1] aralığındaki ortalama değeri nedir?
Güven:
[1/(e²−1)] · (e²−1)²/2 = (e²−1)/2.
24
∫ [1 / (x² − 1)] dx integralinin çözümü nedir?
Güven:
Basit kesirlere ayırma: 1/(x²−1) = [1/2]/(x−1) − [1/2]/(x+1). Sonuç: (1/2)ln|(x−1)/(x+1)| + C.
Bölüm 7
Genelleştirilmiş İntegraller
25
∫[0, ∞] e⁻²ˣ dx genelleştirilmiş integralinin değeri nedir?
Güven:
lim(t→∞) [−1/2·e⁻²ˣ] = −1/2·(0−1) = 1/2. İntegral yakınsaktır.
